За максимално раздалечими и напълно регулярни кодове
DOI :
https://doi.org/10.55630/mem.2026.55.350-356Ключови думи :
максимално раздалечим код, напълно регулярен кодАбстракт
Изследваме кога един максимално раздалечим (MDS) код над Fq е също и напълно регулярен (CR). За дължини n = q + 1 и n = q + 2 даваме пълна класификация на MDS кодовете, които са CR или поне равномерно опаковани в широк смисъл (UPWS). За по-ограничения случай n <= q при q <= 5 получаваме пълна класификация (с точност до еквивалентност) на всички нетривиални MDS кодове: няма такива за q = 2; само троичният код на Хеминг за q = 3; четири нетривиални семейства за q = 4; и точно шест линейни MDS кода за q = 5 (три от които са CR, а един допуска самодуална версия). Освен това запълваме две празнини, оставени в предишна класификация на самодуални CR кодове с радиус на покритие ρ <= 3: точно определяме над кои крайни полета съществуват MDS самодуални напълно регулярни кодове с параметри [2, 1, 2]_q и [4, 2, 3]_q.
Литература (библиография)
S. BALL. On sets of vectors of a finite vector space in which every subset of basis size is a basis. J. Eur. Math. Soc., 14:733–748, 2012.
L. A. BASSALYGO, G. V. ZAITSEV, and V. A. ZINOVIEV. Uniformly packed codes. Problems Inform. Transmiss., 10(1):9–14, 1974.
L. A. BASSALYGO and V. A. ZINOVIEV. A note on uniformly packed codes. Problems Inform. Transmiss., 13(3):22–25, 1977.
M. C. BHANDARI and C. DURAIRAJAN. On the covering radius of simplex codes. Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography, 6:59–69, 2003.
J. BORGES, J. RIFÀ, and V. A. ZINOVIEV. On completely regular codes. Problems Inform. Transmiss., 55(1):1–45, 2019.
J. BORGES and V. A. ZINOVIEV. On self-dual completely regular codes with covering radius ρ <= 3. Finite Fields and their Applications, 105:102617, 2025.
P. DELSARTE. An Algebraic Approach to the Association Schemes in Coding Theory. Technical report 10, Philips Res. Rep. Suppl., 1973.
M. F. EZERMAN, M. GRASSL, and P. SOLÉ. The weights in MDS codes. IEEE Trans. Inform. Theory, IT-57:392–396, 2011.
J. M. GOETHALS and H. C. A. VAN TILBORG. Uniformly packed codes. Philips Res., 30:9–36, 1975.
J. H. GRIESMER. A bound for error-correcting codes. IBM J. Res. Develop., 4:532–542, 1960.
W. C. HUFFMAN and V. PLESS. Fundamentals of error-correcting codes. Cambridge Univ. Press, New York, 2003.
RUDOLF LIDL and HARALD NIEDERREITER. Finite fields, number 20. Cambridge university press, 1997.
B. SEGRE. Curve razionali normali ek-archi negli spazi finiti. Ann. Mat. Pur. Appl., 39(1):357–379, 1955.
N. V. SEMAKOV, V. A. ZINOVIEV, and G. V. ZAITZEV. Uniformly packed codes. Problems Inform. Transmiss., 7:38–50, 1971.
M. SHI and P. SOLÉ, editors. Completely Regular Codes in Distance Regular Graphs. CRC Press, Boca Raton FL, 2025.
R. C. SINGLETON. Maximum distance q-ary codes. IEEE Trans. Inform. Theory, IT-10:116–118, 1964.
P. SOLÉ. Completely regular codes and completely transitive codes. Discrete Maths., 81:193–201, 1990.
G. SOLOMON and J. J. STIFFLER. Algebraically punctured cyclic codes. Inform. and Control, 8:170–179, 1965.
A. TIETÄVÄINEN. On the nonexistence of perfect codes over finite fields. SIAM J. Appl. Math., 24(1):88–96, 1973.
V. A. ZINOVIEV and V. K. LEONTIEV. On non-existence of perfect codes over Galois fields. Probl. Upravlen. Teor. Inform., 2(2):123–132, 1973. English translation in Probl. Control Inf. Theory, vol. 2, no. 2, pp. 16–24, 1973.
