Верификация на изчисленото разпределение на теглата за двоичния код на Рийд-Малер R(4,9)
DOI :
https://doi.org/10.55630/mem.2026.55.340-349Ключови думи :
двоичен код на Рийд-Малер, разпределение на теглата, афинна еквивалентностАбстракт
В първата част на настоящата работа преразглеждаме основните етапи от пресмятането на разпределението на теглата на двоичния код на Рийд-Малер R(4, 9), представено в нашата предходна статия "The Weight Distribution of the Fourth-Order Reed–Muller Code of Length 512", Designs, Codes and Cryptography 93, 2487-2502. Във втората част въвеждаме техника за проверка, основана на целочислени сравнения, предложени от Хенингер, Рейнс и Слоун, която е приложима към кодовете от тази фамилия. Показваме, че този тип проверки напълно потвърждават коректността на полученото разпределение на теглата.
Литература (библиография)
E. BERLEKAMP, F. J. MACWILLIAMS, and N. J. A. SLOANE. Gleason’s theorem on self-dual codes. IEEE Transactions on Information Theory, 18:409–414, 1972.
C. CARLET and P. SOLÉ. The weight spectrum of two families of Reed–Muller codes. Discrete Mathematics, 346(10):113568, 2023.
P. CHARPIN. Open problems on cyclic codes. In V. S. PLESS and C. W. HUFFMAN, editors, Handbook of Coding Theory, pages 963–1063. Elsevier, 1998.
T. W. CUSICK and Y. CHEON. Counting balanced boolean functions in n variables with bounded degree. Experimental Mathematics, 16(1):101–105, 2007.
V. GILLOT and PH. LANGEVIN. Classification of some cosets of the Reed–Muller code. Cryptography and Communications:10.1007/s12095–023–00652–4, 2023.
N. HENINGER, E. M. RAINS, and N. J. A. SLOANE. On the integrality of n-th roots of generating functions. Journal of Combinatorial Theory, Series A, 113:1732–1745, 2006.
T. KASAMI and N. TOKURA. On the weight structure of Reed–Muller codes. IEEE Transactions on Information Theory, 16:752–759, 1970.
PH. LANGEVIN. Classification of boolean quartic forms in eight variables, 2007. URL: https://langevin.univ-tln.fr/project/quartics.html.
PH. LANGEVIN. Classification of R(4, 7) /R(2, 7), 2012. URL: https://langevin.univ-tln.fr/project/rm742/rm742.html.
PH. LANGEVIN and G. LEANDER. Classification of boolean quartic forms in eight variables. In B. PRENEEL and O. A. LOGACHEV, editors, Boolean Functions in Cryptology and Information Security, pages 139–147. IOS Press, 2008.
F. J. MACWILLIAMS and N. J. A. SLOANE. The Theory of Error-Correcting Codes. North- Holland, Amsterdam, 1977.
M. MARKOV and Y. BORISSOV. The weight distribution of the fourth-order Reed–Muller code of length 512. Designs, Codes and Cryptography, 93:2487–2502, 2025.
OEIS FOUNDATION INC. The on-line encyclopedia of integer sequences. URL: https://oeis.org/. Last accessed 8 Jan. 2026.
D. V. SARWATE. Weight Enumeration of Reed–Muller Codes and Cosets. PhD thesis, Department of Electrical Engineering, Princeton University, Princeton NJ, 1973. Advisors: E. R. Berlekamp and J. D. Ullman.
N. J. A. SLOANE and E. R. BERLEKAMP. Weight enumerator for second-order Reed–Muller codes. IEEE Transactions on Information Theory, 16:745–751, 1970.
